奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯自打跟克莱因讨论的翻转这个事情以来，自己在很多问题上都想找到各种奇思妙想的翻转。
其中一个是关于数论中因子分解的翻转，就是莫比乌斯反演。
莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。
莫比乌斯研究如下函数：
F（1）=f（1）
F（2）=f（1）+f（2）
F（3）=f（1）+f（3）
F（4）=f（1）+f（2）+f（4）
F（5）=f（1）+f（5）
F（6）=f（1）+f（2）+f（3）+f（6）
F（7）=f（1）+f（7）
F（8）=f（1）+f（2）+f（4）+f（8）
反演变化过来时以下情况：
f（1）=F（1）
f（2）=F（2）-F（1）
f（3）=F（3）-F（1）
f（4）=F（4）-F（2）
f（5）=F（5）-F（1）
f（6）=F（6）-F（3）-F（2）+F（1）
f（7）=F（7）-F（1）
f（8）=F（8）-F（4）
后来的莫比乌斯函数用在黎曼猜想J（x）公式里。
μ（1）=1
μ（n）=0（如果n可以被任一素数的平方整除）
μ（n）=-1（如果n是奇数个不同素数的乘积）
μ（n）=1（如果n是偶数个不同素数的乘积）。
因此知道了J（x）就可以计算出π（x），即素数的分布函数。
把这些步骤连接在一起，我们看到，从ζ（x）到J（x），再从J（x）到π（x），素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了Riemannζ函数之中。
这就是Riemann研究素数分布的基本思路。
莫比乌斯反演用在黎曼猜想上，就充分说明了在黎曼猜想上，有一个更加深刻的反演的东西，这也许是莫比乌斯和克莱因要寻找的那种反演的东西。
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